So, Problem ist jetzt doch gelöst. Es war doch ein Problem der Dateiberechtigungen - nur nicht da, wo ich es vermutet habe. In der php.ini gibt es einen Parameter session.save_path = "…". Und der dort angegebene Ordner hatte nicht die richtigen Berechtigungen. Mir ist das erst aufgefallen, als ich mein php und phpmyadmin aktualisiert habe. Der myadmin lief dann nämlich auch plötzlich nicht mehr. Und in einem Forenbeitrag zu dessen Fehlermeldung bin ich dann auch auf die Lösung gestoßen. Warum das vor den Updates problemlos war, kann ich nicht sagen.
Auf jeden Fall GELÖST