Mit Hilfe des Supports unter help.i-doit.com wurde das Problem nun behoben. Danke!
Bei uns war die PHP-Extensions php-zip nicht installiert. Vermutlich lag dies daran, dass der Server unter Debian 8 aufgesetzt worden war und dann später - während i-doit bereits installiert war - auf die Debian-Version 9 aktualisiert wurde. Die Zip-Extension von PHP war in der Installationsdoku von Debian 8 nicht als Requirement aufgeführt.
Beim Überprüfen der installierten Extensions fiel dann noch auf, dass auch die Extension php-mbstring fehlte. Falls jemand also dasselbe Problem hat, am besten mal diese beiden Extensions kontrollieren.